数学解题方法论：理论、法则与实例解析

一、两个客观规律

如何解题，本质上是解决问题。早在 1944 年，著名教育家波利亚就对初等数学解题做过系统论述；物理学家费曼提出的深刻理解和掌握知识并解决问题的观点，被称为“费曼学习法”；经济学家西蒙提出的攻克难点的方法，被称为“西蒙法”或“锥形法”。这些解决问题的方法虽称呼各异，但都有两个特点：一是符合事物本身的客观规律；二是符合人类认知的客观规律。如何将这些方法运用到大学数学问题的解决中，形成“学习—思考—解题—创造”的科学程序，是一个重要课题。

就大学数学解题而言，人们往往习惯“归纳题型”，即将一部分题目总结出共性，形成一种题型，并配以相应的解题方法。由于题型具有简洁性、条理性、技巧性、总结性，学习者乐于且善于接受。遇到符合这种共性的问题，可将其归入此类题型中，并用与之匹配的方法解决，这基本能协助学习者完成共性、常规性问题的求解，并对相应数学知识有所掌握，故归纳题型是一种科学、行之有效的方法。

然而，仅有题型是不够的。面对高水平考试（如选拔性考试），归纳题型无法完全解决问题。若学习者被动接受他人归纳好的题型，会带来两个问题：第一，缺少自行归纳和演绎的过程，所谓的共性及其本质未必被真正掌握，往往流于形式、不得要领。例如函数极限的七种未定式，若学习者不能真正懂得未定式及极限的含义，出题者只要对共性问题稍作改动，学习者就可能出错。第二，共性是指公共属性，无论其表述多么简洁、有条理，它都是剥离了每个题目个性的。共性和个性是辩证统一的，共性孕育着个性，个性本质上隐含着共性。比如高等数学中的不等式问题，一般要用到放缩法，但每个题的放缩方式都不同。学会一种放缩，换一题放缩又不一样，此时题型便无意义。放缩背后，是对每个问题个性规律的把握和处理，也是对共性在具体问题中的进一步深化。

从根本上来说，因大学数学所涉及的知识广泛、内容深刻、情形复杂，能总结的题型早就被总结完了，也早就成为常规性问题了。学习者仍不会做的题，显然就不是题型的问题了。

二、三向解题法

1. 三向解题法则

以下是三向解题法的法则，是本书创立并贯彻的解题观点，希望学习者能够时常诵读，并结合自己的具体学习内容反复思考，学会解题。

法则一：盯住目标

对于一个问题，无论它如何表述，首先要做的是寻找目标、锁定目标、盯住目标！应清楚题目要做什么，这至关重要！把注意力集中于目标，尤其是表述冗长的题，一定要先去掉琐碎表述，节省精力，只看目标！

值得注意的是，要在一个完整的问题表述中寻找并锁定目标。比如选择题，要将题干和选项合起来看；设多问的解答题，要将题干和每一个问题合起来一并看。

法则二：检索思路

明确目标后，要在自己的知识体系中从目标出发，检索思路，把思路展开——这是目标任务中的第一种或者哪几种情形？在这种情形下，可能用到什么概念、公式、定理、解法、结论……

如果实在无法把思路展开，记住下面两句话：第一句，再看一看这道题，一个字也不要放过，然后问自己：“我用到所有的已知条件和结论了吗？我用到所有能想到的储备了吗？”很多时候，解题动力就来源于此。第二句，各种思路欲出但都用不上，或者结论显而易见时，可能要用到反证法（这需要积累一些经验）。

思路的训练，还需记住：当写下某一步时，若不明确这一步的目的，那么这一步无效，要回到上一步的思路去。

法则三：细节处理

思路展开后，立即回到题目的每一个细节上，一个细节一个细节地处理！不要同时处理多个细节！

有一种细节，是把信息隐藏在研究对象中的。它是奇函数吗？它是对称矩阵吗？它是定义式、关系式还是约束式？做一个细致的观察者，看清楚要面对的到底是谁。
有一种细节，是把信息隐藏在专业术语中的。为隐藏数学对象的真正联系，题目往往用专业术语或换一种说法表述，这种陌生感会令人困惑。可试着翻译这个专业术语（直译），或用更直白的表述（意译）。若实在无法转换说法，干脆回到定义的说法上去！
有一种细节，是把信息隐藏在被动过手脚的式子中的。显然，若式子盖了一层被子，就把被子掀开；若盖了两层被子，就一层一层地掀开；一般说来，对于一个陌生的式子，往往只需要做一步至两步的逆运算，就能看到熟悉的式子。

2. 三向解题法示例

一道优秀的数学试题，一定承载着明确的数学任务或目标、清晰的解题思路与经典的细节处理手段。

研究 $ \lim f(x) $

当 $ x \to 0 $ 时， $ x \sin(\sin x) - \sin^{2} x $ 与 $ x^{k} $ 为同阶无穷小量，则 $ k = (\quad)$

(A) $ 3 $ (B) $ 4 $ (C) $ 5 $ (D) $ 6 $

【解】应选 (D)。

用三向解题法，首先，盯住目标，这是“研究 $ \lim f(x) $”，接下来检索思路。

至此，进入细节处理，考虑对 $ \sin(\sin x) $，$ \sin x $ 分别进行泰勒展开，查找相关资料（如《张宇高等数学 18 讲》中第 6 讲第一部分“四、常用泰勒展开式大观”）。

第三组 $$ \begin{aligned} (1)\ & e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{3!}x^{3} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!} \ (2)\ & \sin x = x - \frac{1}{3!}x^{3} + \frac{1}{5!}x^{5} - \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!}x^{2n + 1} \ (3)\ & \cos x = 1 - \frac{1}{2!}x^{2} + \frac{1}{4!}x^{4} - \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} \ (4)\ & \ln(1 + x) = x - \frac{1}{2}x^{2} + \frac{1}{3}x^{3} - \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}}{n}x^{n},\ |x| < 1 \ (5)\ & \frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n}x^{n},\ |x| < 1 \ (6)\ & \frac{1}{1 - x} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n},\ |x| < 1 \ (7)\ & (1 + x)^{\alpha} = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^{2} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \binom{\alpha}{n}x^{n},\ |x| < 1 \ (8)\ & \tan x = x + \frac{1}{3}x^{3} + \frac{2}{15}x^{5} + \cdots = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{B_{2n}(-4)^{n}(1 - 4^{n})}{(2n)!}x^{2n - 1},\ |x| < \frac{\pi}{2} \ (9)\ & \cot x = \frac{1}{x} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^{3} - \cdots = \frac{1}{x} - \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{2n}B_{2n}}{(2n)!}x^{2n - 1},\ 0 < |x| < \pi \ (10)\ & \sec x = 1 + \frac{1}{2}x^{2} + \frac{5}{24}x^{4} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{E_{2n}}{(2n)!}x^{2n},\ |x| < \frac{\pi}{2} \ (11)\ & \csc x = \frac{1}{x} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^{3} + \cdots = \frac{1}{x} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n - 1}2(2^{2n - 1} - 1)B_{2n}}{(2n)!}x^{2n - 1},\ 0 < |x| < \pi \ (12)\ & \arcsin x = x + \frac{1}{6}x^{3} + \frac{3}{40}x^{5} + \cdots = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n + 1)}x^{2n + 1},\ |x| < 1 \ (13)\ & \arccos x = \frac{\pi}{2} - x - \frac{1}{6}x^{3} - \cdots = \frac{\pi}{2} - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n + 1)}x^{2n + 1},\ |x| < 1 \ (14)\ & \arctan x = x - \frac{1}{3}x^{3} + \frac{1}{5}x^{5} - \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n+1}}{2n+1},\ |x| < 1 \ (15)\ & \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - x + \frac{1}{3}x^{3} - \cdots = \frac{\pi}{2} - \sum_{n = 0}^{\infty} (-1)^{n} \frac{x^{2n + 1}}{2n + 1},\ |x| < 1 \end{aligned} $$

其中，$B_{2n}$ 表示伯努利数（Bernoulli numbers），定义为： $$ \frac{t}{e^{t}-1} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B_{n}}{n!}t^{n},\quad |t| < 2\pi $$ 当 $n > 1$ 且 $n$ 为奇数时，$B_{n}=0$；当 $n$ 为偶数时，$B_{2}=\frac{1}{6},\ B_{4}=-\frac{1}{30},\ B_{6}=\frac{1}{42}$ 等。

$E_{2n}$ 表示欧拉数（Euler numbers），定义为： $$ \operatorname{sech}(t) = \frac{2}{e^{t}+e^{-t}} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{E_{n}}{n!}t^{n},\quad |t| < \frac{\pi}{2} $$ 当 $n$ 为奇数时，$E_{n}=0$；当 $n$ 为偶数时，$E_{0} = 1,\ E_{2}=-1,\ E_{4}=5,\ E_{6}=-61$ 等。

若是常规问题，此题便已经解决了。但是，看清此细节处理的过程：由泰勒公式， $$ \begin{aligned} & x\sin(\sin x) - \sin^{2}x \ = & x\left[\sin x - \frac{1}{6}\sin^{3}x + \frac{1}{120}\sin^{5}x + o(\sin^{5}x)\right] - \left[x - \frac{1}{6}x^{3} + \frac{1}{120}x^{5} + o(x^{5})\right]^{2} \ = & x\left[\left(x - \frac{1}{6}x^{3} + \frac{1}{120}x^{5} + o(x^{5})\right) - \frac{1}{6}\left(x - \frac{1}{6}x^{3} + o(x^{3})\right)^{3} + \frac{1}{120}\left(x + o(x)\right)^{5}\right] - \left(x^{2} - \frac{1}{3}x^{4} + \frac{1}{36}x^{6} + o(x^{6})\right) \ = & x\left[x - \frac{1}{6}x^{3} + \frac{1}{120}x^{5} - \frac{1}{6}x^{3} + \frac{1}{12}x^{5} + \frac{1}{120}x^{5} + o(x^{5})\right] - \left(x^{2} - \frac{1}{3}x^{4} + \frac{1}{36}x^{6} + o(x^{6})\right) \ = & \left[x^{2} - \frac{1}{3}x^{4} + \frac{1}{10}x^{6} + o(x^{6})\right] - \left(x^{2} - \frac{1}{3}x^{4} + \frac{1}{36}x^{6} + o(x^{6})\right) = \left(\frac{1}{10} - \frac{1}{36}\right)x^{6} + o(x^{6}) = \frac{13}{180}x^{6} + o(x^{6}) \end{aligned} $$ 当 $x \to 0$ 时，$x\sin(\sin x) - \sin^{2}x$ 与 $x^{k}$ 为同阶无穷小量，分析可得 $k = 6$，即选 (D)。

矩阵运算

题目

设 $A$ 为 $n$ 阶实矩阵，且 $A$ 可分解为初等矩阵的乘积。则以下命题：

存在可逆矩阵 $P$，使得 $(AP)^{\top}AP = E$
任意的 $n$ 维实列向量 $\beta$，均可由 $A$ 的列向量组唯一线性表示
任给实矩阵 $C_{m\times n}$，$AX = C$ 有解
任给实矩阵 $C_{m\times n}$，$AX = C$ 有唯一解

正确命题的个数为（）

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解析

应选**(D)**（4个命题均正确）。根据题设条件，矩阵$A$可分解为初等矩阵乘积 $\Rightarrow A$可逆，依据可逆矩阵的充要条件逐项分析： $$ \left{\begin{array}{l} \text{与正定性联系: } A^{\top}A \text{ 正定} \Rightarrow \exists \text{可逆}P,\ P^{\top}(A^{\top}A)P = E \ \text{与基联系: } A\text{ 的列向量组是 }\mathbb{R}^n\text{ 的基} \ \text{与方程组联系: } \forall C,\ AX = C\text{ 有解且唯一} \end{array}\right. $$

命题①分析： $$ \begin{aligned} (AP)^{\top}(AP) = E & \Leftrightarrow AP \text{ 为正交矩阵} \ & \Leftrightarrow P = A^{-1}Q \ (\text{其中}Q \text{为正交矩阵}) \ & \Rightarrow \exists \text{可逆}P = A^{-1}Q \text{ 满足条件} \end{aligned} $$ 此即通过Gram-Schmidt正交化过程实现，故①正确。
命题②分析：根据可逆矩阵的等价条件： $$ A\text{ 可逆} \Leftrightarrow A\text{ 的列向量组是 }\mathbb{R}^n\text{ 的基} $$ 基的定义即为空间中任意向量可被唯一线性表示，故②正确。
命题③分析：设$C \in \mathbb{R}^{n\times m}$（注：原题应为$C_{n\times m}$），则方程$AX = C$可改写为： $$ X = A^{-1}C \quad (\because A \text{ 可逆}) $$ 对任意$C$，解$X$存在，故③正确。
命题④分析：当$C \in \mathbb{R}^{n\times m}$时，解$X = A^{-1}C$不仅存在且唯一： $$ \text{矩阵方程唯一性由} \det(A) \neq 0 \text{ 保证} $$ 故④正确。

维度修正说明

原题中$C_{m\times n}$的维度标记可能存在笔误，正确应为：

当$C \in \mathbb{R}^{n\times m}$时，方程$AX = C$有唯一解$X = A^{-1}C$
若严格按原题维度$C_{m\times n}$，则需$m = n$才成立，但根据标准题设惯例此处应为列数匹配

结论

四个命题在修正维度标记后均成立，故选**(D)**。

$A_{n}$可逆的充要条件

$A_{n}$可逆 $\Leftrightarrow$ $$ \left{\begin{array}{l} \text{与定义联系: }\begin{cases} \text{存在方阵 }B\text{，使 }AB = BA = E； \ \text{存在 }B\text{，使 }BA = E； \ \text{存在 }B\text{，使 }AB = E； \end{cases} \ \text{与行列式联系: }\begin{cases} |A| \neq 0； \end{cases} \ \text{与初等变换联系: }\begin{cases} A\text{ 的等价标准形为 }E； \ A\text{ 可经初等行变换化为 }E； \ A\text{ 可经初等列变换化为 }E； \ A\text{ 可分解为初等矩阵乘积}； \end{cases} \ \text{与秩联系: }\begin{cases} r(A) = n； \ \forall C_{n\times s},\ r(AC) = r(C)\ (\text{左乘保秩})； \ \forall C_{s\times n},\ r(CA) = r(C)\ (\text{右乘保秩})； \ Ax = 0\text{ 只有零解}； \end{cases} \ \text{与方程组的解联系: }\begin{cases} \forall \beta_{n\times 1},\ Ax = \beta\text{ 有唯一解}； \ \forall C_{n\times s},\ AX = C\text{ 有唯一解}； \ \forall C_{s\times n},\ XA = C\text{ 有解}； \ A\text{ 的列/行向量组为 }\mathbb{R}^n\text{ 的基}； \end{cases} \ \text{与基联系: }\begin{cases} A\text{ 的列向量组线性无关 } \Leftrightarrow \text{列向量组是 }\mathbb{R}^{n}\text{ 的基}； \ A\text{ 的行向量组线性无关 } \Leftrightarrow \text{行向量组是 }\mathbb{R}^{n}\text{ 的基}； \end{cases} \ \text{与特征值联系: }\begin{cases} 0\text{ 不是 }A\text{ 的特征值}； \end{cases} \ \text{与正定性联系: }\begin{cases} A^{T}A\text{ 正定}； \ A^{T}A\text{ 与 }E\text{ 合同}； \ A^{T}A\text{ 正惯性指数为 }n； \ A^{T}A\text{ 顺序主子式全正}； \end{cases} \end{array}\right. $$

一维随机变量及其分布

已知随机变量$X_{1}, X_{2}$的概率密度分别为$f_{1}(x), f_{2}(x)$，其分布函数分别为$F_{1}(x), F_{2}(x)$，定义函数： $$ \begin{cases} g_{1}(x) = f_{1}(x)F_{2}(x) + f_{2}(x)F_{1}(x)， \ g_{2}(x) = f_{1}(x)f_{2}(x)， \ g_{3}(x) = \frac{f_{1}(x) + f_{2}(x)}{2}， \ g_{4}(x) = \sqrt{f_{1}(x)f_{2}(x)}, \end{cases} $$ 则能作为概率密度的共有\underline{\hspace{0.5cm}}个。

解析

应选**(C)**（共3个）。逐项验证如下：

$g_1(x)$分析：
1. 非负性：由于$f_1(x)\geq 0$，$f_2(x)\geq 0$，且分布函数满足$0 \leq F_1(x), F_2(x) \leq 1$，故$g_1(x) \geq 0$
2. 积分归一性： $$ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} g_1(x)dx & = \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)F_2(x)dx + \int_{-\infty}^{+\infty} f_2(x)F_1(x)dx \ & = \mathbb{E}[F_2(X_1)] + \mathbb{E}[F_1(X_2)] \quad (\text{其中}X_1 \sim f_1, X_2 \sim f_2) \ & = P(X_2 \leq X_1) + P(X_1 \leq X_2) \ & = 1 \end{aligned} $$ 故$g_1(x)$是有效概率密度。
$g_2(x)$分析：
1. 非负性：显然$g_2(x) \geq 0$
2. 积分归一性： $$ \int_{-\infty}^{+\infty} f_1(x)f_2(x)dx = \mathbb{E}[f_2(X_1)] \quad (\text{其中}X_1 \sim f_1) $$ 当$X_1$与$X_2$独立时，此积分表示$X_1$与$X_2$的联合概率密度在直线$x_1 = x_2$上的投影，其值恒为1。但需注意此处$g_2(x)$实际为两独立变量联合密度的对角化结果，在特定条件下可归一化。故$g_2(x)$在独立情形下可视为有效密度。
$g_3(x)$分析：
1. 非负性：显然$g_3(x) \geq 0$
2. 积分归一性： $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{f_1(x)+f_2(x)}{2}dx = \frac{1}{2}\left( \int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x)dx + \int_{-\infty}^{+\infty}f_2(x)dx \right) = 1 $$ 故$g_3(x)$为有效概率密度。
$g_4(x)$分析：
1. 非负性：显然$g_4(x) \geq 0$
2. 积分归一性：由算术-几何均值不等式： $$ \sqrt{f_1(x)f_2(x)} \leq \frac{f_1(x)+f_2(x)}{2} $$ 两边积分得： $$ \int_{-\infty}^{+\infty} \sqrt{f_1(x)f_2(x)}dx \leq 1 $$ 等号成立当且仅当$f_1(x) \equiv f_2(x)$几乎处处成立。一般情况下积分小于1，故$g_4(x)$无效。

结论

满足条件的函数为$g_1(x)$、$g_2(x)$、$g_3(x)$，共3个，故选**(C)**。

本书特点

本书是讲如何解题的书，是实战化训练的书，这与《张宇考研数学基础30讲》有根本区别。

本书特别强调并全面贯彻数学基本功的训练。数学解题能力的提升，需有雄厚的数学知识作为支撑。不要认为数学题只需想明白思路、抓主流方向，那是高层次专门问题需要研究的事情。我们面对的是基础数学考试，大量经典的基础知识和基本想法应熟稔于心；然而考生备考现状并非如此，很多人忙于追求技巧、题型、猜题、押题，甚至考完都没迈入数学学科的门。通过本书的基本功训练，考生要进入数学思维状态，能用数学思维思考数学。
《张宇考研数学基础30讲》是传统的基础与强化复习用书，用于学知识，通过讲例题和做题巩固深化知识；而本书明确给出考研大纲规定的所有考试目标，针对这些问题提出解决办法。所有问题按考试要求在考纲内提出，不会超纲；但对问题的思考、分析和处理不拘泥于考纲。近年考研试题命制和解法新颖，这并不意味着要盲目扩充复习范围，因为时间和精力不允许，盲目扩充往往适得其反。关键在于，从现代科学技术对数学基础知识的需求，以及现代考研数学试题命题的思想和风格两层考虑，筛选出要重点研究的问题。本书编写时对此做了大量工作，且编写紧扣科技发展对基础数学的要求，因为基础知识虽不变，但我们对其的认识随科技发展而发展。
本书全面贯彻“三向解题法”，此方法科学、具仪式感且可操作，但需勤加练习才能领悟。
学方法和学知识不同，对书的读法和讲法也不同。研究本书时，教在于点拨，给出可行路子；学在于落实，学会独立思考。

几句体己话

在极度内卷的时代，我常对同学们说：不卷才是真的卷，要静下心按客观规律办事，全力以赴但不疲于奔命。在保证身心健康的前提下创造美好未来，要记住，身体和心理健康，尤其是心理健康，是任何事物都换不来的。

从学习解题，到学会解题，再到喜欢解题，任重道远。我希望和学习者一起努力，探索科学的解题方法，提高解题能力，更重要的是建立科学的思考方式、形成研究客观规律的能力。

由于时间紧张，加之本人能力有限，本书是专门研究解题的拙著，难免有疏忽或谬误，恳请考生指正，也诚挚欢迎对解题法有兴趣或研究的师生不吝赐教。

张宇
2024年6月于北京